Le rapport 14:11 à Meïdoum

par John A.R. Legon

d'après son article dans Discussions in Egyptology 17 (1990), 15-22.
Traduction de John Legon et Stéphane Fargeot

Comme Flinders Petrie l'a montré il y a un siècle, [1], le rapport 14:11,  relatif à la pente de la Grande Pyramide de Gizeh, a été utilisé plus tôt au cours de la IVe dynastie pour la Pyramide de Meïdoum. À la suite de la théorie de J-Ph. Lauer, qui justifie l'utilisation de ce rapport pour les gradins de cette dernière pyramide,[2] Robins et Shute ont récemment tenté de faire remonter l'origine de la pente 14:11 à la Pyramide à degrés de Djéser,[3] en se référant au seked ou mesure égyptienne de la pente des faces des gradins; et ils ont ainsi trouvé des arguments contre les interprétations mathématiques attachées à l'utilisation de ce profil dans la Grande Pyramide.

Pour appuyer leur théorie relative à l'origine de l'utilisation du rapport 14:11, Robins et Shute se référent à un plan de la Pyramide à degrés préparé à partir des mesures et des dessins réalisés par J.S. Perring en 1839. [4] Ils ont choisi ce plan car il indique, plutôt à titre d'hypothèse, que la partie haute des gradins a pu être terminée à l'horizontale, comme dans la Pyramide de Meïdoum ; mais avec ce choix, ils ont négligé la découverte faite par Lauer, de pierres spécialement taillées avec lesquelles les "marches" ou parties  horizontales des gradins de la Pyramide à degrés ont été achevés :  pas du tout horizontalement, mais avec une inclinaison de plus de 20°. [5]

Essayons de supposer, cependant, que les gradins de la Pyramide à degrés aient pu être terminés à l'horizontale, et que les mesures prises par Perring puissent fournir une base solide pour l'analyse. Robins et Shute vont alors affirmer que, selon les dessins de Perring, "la distance entre l'arête de chaque gradin et le pied de la face oblique du gradin supérieur est exactement la moitié de la hauteur du gradin, et, comme dans le cas de la Pyramide de Meïdoum, le seked moyen de la Pyramide à degrés, mesuré sur les arêtes des gradins, est de 5 palmes 1 / 2." [6]  Comme Robins et Shute l'expliquent, ce seked correspond à la pente de 14 vertical pour 11 horizontal, qui apparaîtrait ainsi dans le profil de la Pyramide à degrés, à condition également que les faces obliques des gradins aient un seked de 2, ou un écart à la verticale de 2 palmes pour chaque coudée de hauteur.

Il est malheureux pour cette hypothèse, cependant, que le texte joint aux dessins de Perring nous affirme : "Les degrés ou étages varient en hauteur, et diminuent progressivement vers le haut." A partir de la liste des hauteurs réelles de chaque étage, qui est ensuite donnée, on peut voir de manière évidente que chaque étage mesure juste une coudée de moins en hauteur que celui qui est juste en-dessous; et les mesures de Perring en pieds et en pouces correspondent aux hauteurs successives de 22, 21, 20, 19, 18 et 17 coudées. Mais à l'exception du premier gradin, les doubles couches de maçonnerie inclinée qui composent ces degrés ont été maintenues sensiblement uniformes, avec une épaisseur de quelque 8 pieds selon Perring, soit environ 10 coudées. Il s'ensuit donc qu'il n'y avait pas de relation constante entre les dimensions des marches et des contremarches de la Pyramide à degrés, et que le rapport exact de 1:2 que la théorie réclamerait, est né par hasard pour un seul des six gradins. L'angle avec l'horizontale obtenu en remplissant les gradins de maçonnerie lisse, d'une arête à la suivante, diminue progressivement  à chaque étage, d'environ 52° à la base, à environ 47° pour la plus haute marche.

Cette variation dans la hauteur des degrés attire l'attention sur une distinction importante entre la construction d'une authentique pyramide à degrés, et le noyau à gradins d'un bâtiment, destiné à être complété comme une vraie pyramide géométrique.  La Pyramide à degrés de Djéser n'était pas censée être terminée comme une pyramide vraie, mais qu'en est-il de la Pyramide de Meïdoum? En dépit de différences nombreuses et importantes dans l'agencement de la structure souterraine et des bâtiments extérieurs, Robins et Shute donnent à penser que la Pyramide de Meïdoum est calquée sur la Pyramide à degrés, et ils l'attribuent à la même dynastie. De nombreux égyptologues, cependant, contestent cette datation, et l'opinion de l'auteur de cet article est que la transformation radicale  qui a eu lieu dans les monuments royaux sous le règne de Snefru, le constructeur de la Pyramide de Meïdoum et des grandes pyramides de Dahchour, justifie le passage à la dynastie suivante, comme Manéthon le préconise. Néanmoins, il est vrai que les dimensions des gradins utilisés dans la Pyramide de Meïdoum, sont largement comparables à celles utilisées dans la Pyramide à degrés.

Mais dans la Pyramide de Meïdoum, pour autant qu'on puisse en juger, les gradins avaient la possibilité d'être complétés pour obtenir une pente constante avec l'ajout d'une couche assez uniforme de maçonnerie de remplissage. Les constructeurs pourraient donc avoir eu l'intention d'achever le monument avec une pente constante comme une pyramide vraie : parce que, dans de nombreuses vraies pyramides postérieures, la constitution d'un noyau à gradins a été considérée comme une phase essentielle dans la construction. Les gradins seraient de proportions fixes, et pourraient parfois [7] être pavés horizontalement avec des dalles de pierre, tout comme dans la Pyramide de Meïdoum.  Ni le lissage des faces obliques, ni les fermetures temporaires du passage d'entrée, n'excluent la possibilité que les bâtisseurs des phases "à degrés" de la Pyramide de Meïdoum aient espéré en fin de compte remplir les gradins de maçonnerie additionnelle, afin de créer une pyramide vraie. Mais si la construction d'une vraie pyramide a été envisagée alors que le noyau à gradins était en cours de construction,  les proportions des gradins et, par conséquent, le seked des faces obliques, ont dû être déterminés conformément au profil envisagé  pour le revêtement final de la pyramide.

Même en admettant que la Pyramide de Meïdoum ait pu passer par une ou plusieurs phases de la construction d'une authentique pyramide à degrés, l'origine du profil 14:11 dans la proportion des gradins n'est pas du tout aussi certaine que la théorie commode de Lauer semble le suggérer. Les faces des gradins, selon cette théorie, ont une pente correspondant à 7 de haut pour 2 d'écart à la verticale. Si on assume que la hauteur des gradins (contremarche) est égale au double de leur partie horizontale (marche), les gradins devraient être remplis à l'oblique selon une pente de 

7 en hauteur sur (2 + 7/2) soit 5 1/2 à l'horizontale

ce qui correspond à un seked de 5 palmes 1/2 (par coudée de hauteur) que l'on peut énoncer : 

14 de hauteur pour 11 d'écart à la verticale

L'inclinaison théorique de la face oblique des gradins est alors caractérisée par un angle de pente avec l'horizontale de :

74° 3' 17" (correspondant à 7 vertical pour 2 horizontal)  

Cependant, en ce qui concerne les mesures réelles relatives à l'inclinaison des faces, il semble précisément qu'un tel angle n'a pas été employé. Au contraire, d'après Petrie,[8] les angles des faces avec l'horizontale sont variables. En ce qui concerne la "tour" existante, la plus élevée de la pyramide, la partie supérieure de la grande face oblique est à 73°20' avec l'horizontale, la partie inférieure  à 73°54'. Les gradins inférieurs en-dessous de la tour sont à  74°40' et 75°.  La tendance semble donc privilégier une pente plus forte pour les parties inférieures que pour les parties les plus élevées.

Si cette tendance se poursuit en allant vers le niveau du sol, il est tout à fait possible que les couches du revêtement lisse du noyau aient commencé avec une pente identique à celle de "l'angle du mastaba", de 4:1, telle que Lauer l'attribue au mastaba initial dans la Pyramide à degrés, [9] et qui a également été utilisée dans le "grand mastaba" de Meïdoum. [10] Cela donne du crédit à la théorie de Petrie selon laquelle la Pyramide de Meïdoum elle-même a été formée autour d'un mastaba initial, et par la suite la première des extensions du noyau pourrait avoir été élevée en se conformant à l'angle de pente du même mastaba. Mais alors, comme nous le supposons maintenant, cette pente était trop raide pour être utilisée dans un noyau construit  avec un rapport   contremarche:marche de 2:1. Comme les degrés devaient être complétés pour former une pyramide vraie avec un profil de 14 vertical pour 11 horizontal, cela a conduit à une moindre pente pour les plus hauts gradins avec un profil qui est probablement associé à 10 parties verticales pour 3 horizontales :

Angle de pente, relatif à 4 vertical pour 1 horizontal = 75° 57' 50" 

Angle de pente, relatif à 10 vertical pour 3 horizontal = 73° 18' 3" 

Les degrés étant de 20 coudées de haut, l'écart à la verticale de chaque face oblique aurait augmenté, de 5 coudées pour les gradins inférieurs, à  6 coudées pour les gradins supérieurs. [11] L'inclinaison définie par le profil de 7 vertical pour 2 horizontal se trouve, à l'échelle de ce bâtiment, correspondre à une valeur de 5 coudées 5 palmes, mais bien que cette pente ait pu être utilisée dans un ou plusieurs des degrés, l'angle du revêtement final de la pyramide lisse qui en résulte n'est que l'un des nombreux qui ont pu être sélectionnés, variant de 

5 vertical pour 4 horizontal, soit 51° 20' 25"
à
4 vertical pour 3 horizontal, soit 53° 7' 49"

Comme l'illustre la figure 1, le tracé  hypothétique de ces angles  suppose que les constructeurs ont estimé être contraints de suivre exactement les arêtes des gradins, ce qui n'a certainement pas été le cas.

Robins et Shute interprètent le rapport 14:11 comme un seked de  5 palmes 1/2, et ils disent que, si on se réfère aux problèmes  d'inclinaison  du Papyrus Mathématique Rhind, les pentes des pyramides ont été prédéterminées par leur seked. On ne sait pas, cependant, si ce type de mesure a été utilisé  dans la  pratique au cours de la IVe dynastie, et en raison des unités de mesure utilisées - palmes et doigts - il ne semble pas adapté au contrôle précis de la pente d'un revêtement. Une coudée disposée verticalement contre la face oblique de la Grande Pyramide,  permettant la mesure en palmes et doigts d'un écart à la verticale,  ne serait pas  venue  à mi-hauteur de la première assise de pierres.  En tout cas, les constructeurs étaient certainement conscients du fait que, parce que la coudée comporte sept palmes, un seked de 5 palmes 1/2 correspond à un rapport de la hauteur à la demi-base de 7 à 5 1 / 2, ou 14:11 ; et il est évident que les constructeurs ont  bien compris les conséquences de l'utilisation d'une pente particulière en termes d'un rapport hauteur:base. Comme dans la Grande Pyramide, on doit  le remarquer, un module de 20 coudées était employé, ce qui  donne pour la demi-base 20 × 11 ou 220 coudées, et pour la  hauteur 20 × 14 ou 280  coudées. Pour  la Pyramide de Meïdoum  nous trouvons de même, comme l'a noté Petrie, [12] l'utilisation d'un  module de  25 coudées  ; il est associé à une base de 25 × 11 ou  275 coudées, et une hauteur de 25 × (14 / 2) ou 175 coudées.

Si on considère maintenant les dimensions effectivement mesurées de la Pyramide de Meïdoum, les résultats de l'arpentage de Petrie [12] pour la base sont les suivantes:

Nord Est Sud Ouest Moyenne
Inches 5677.2 (5694.5) 5681.3 5675.0 5677.8
Mètres  144.20 (144.64) 144.30 144.14 144.22
Coudées  274.97 (275.81) 275.17 274.86 275.00


En excluant le côté Est de ces données, car il mesure quelque 17 pouces de plus que la moyenne des autres côtés, on obtient une base de 275 coudées en moyenne, avec une coudée de 20,6466 pouces, ou 0,52442 mètres. Cette coudée est d'environ 1/40 de pouce - soit moins de un millimètre - plus longue que la coudée de Gizeh de 20,620 pouces ou 0,52375 mètres.

Pour l'angle de la face oblique, les mesures de Petrie sont de 51 ° 49', 51 ° 54' et 52 ° 4 ', soit à quelques minutes d'arc de l'angle de 51 ° 50' 34 ", associé au seked de 5 palmes 1/ 2, ou au rapport de 14 : 11.  La hauteur de la Pyramide de Meïdoum était donc  (275/2) × (14/11) soit  175 coudées, comme nous l'avons vu.

Le tracé du passage d'entrée
La Pyramide de Meïdoum a été la première en Egypte à être construite avec un passage d'entrée incliné qui se termine, non pas au niveau de la base comme dans tous les pyramides postérieures (et en fait, dans chaque pyramide à partir de la Ve dynastie), mais dans le revêtement incliné,  à une certaine hauteur au-dessus du sol. Bien que des raisons de sécurité aient pu prévaloir, le niveau choisi pour l'entrée varie beaucoup au cours de la IVe dynastie. Dans la Pyramide Rhomboïdale, par exemple, alors que l'entrée Nord est à moins de 12 mètres du sol, l'entrée Ouest se trouve à la hauteur remarquable de 30 mètres du sol. Comme l'auteur de cet article l'a indiqué ailleurs, [13], ces positions peuvent être expliquées par des exigences de type géométrique.

Dans la Pyramide de Meïdoum, la recherche d'un emplacement particulier de l'entrée est suggéré par le fait que la pente du passage d'entrée a été augmentée : elle passe de 27° 36' dans sa partie inférieure, à 30 ° 23' lorsque le passage s'approche du revêtement extérieur. [14] En outre, parce que certaines lignes de nivellement, marquées en coudées royales au-dessus de la base, ont été découvertes par Rowe sur la face d'un gradin proche de l'entrée, [15], il est certain que les constructeurs  se sont appliqués à maintenir le contrôle des niveaux dans la pyramide ; et en augmentant la pente du passage d'entrée, ils auraient pu être tentés de positionner l'entrée à une certaine hauteur au-dessus de la base. Selon les mesures de Petrie, l'entrée se situe au niveau 720,7 pouces, soit 34,91 coudées (exprimées en coudées-Meïdoum, calculées à partir de la longueur du côté de base), ce qui correspond donc pratiquement à un cinquième de la hauteur totale de la pyramide, soit 175 × (1 / 5) ou 35 coudées, au-dessus de la base.

À la suite de ce choix, comme le montre la fig. 2, l'entrée a été fixée à 140 coudées en dessous du sommet de la pyramide, et à 110 coudées vers le Nord de l'axe central. Une référence directe supplémentaire a donc été apportée au rapport 14:11 ;  et la section verticale de la pyramide de Meïdoum au niveau de l'entrée représente donc la moitié de la section verticale de la Grande Pyramide, avec sa hauteur de 280 coudées et sa demi-base de 220 coudées. Nous pouvons ajouter à cela que la longueur de 57,85 m - ou 110,3 coudées - du passage  d'entrée,  incliné en moyenne de 28° 29', est associée à une hauteur verticale de 52,6 coudées, voisine de 35 x (3 / 2) ou 52 coudées 1/2. [16]  L'extrémité intérieure du passage se situe donc à 17 coudées 1/2 en dessous de la base - ce qui correspond exactement à un dixième de la hauteur de 175 coudées de la pyramide.

Avoir mis en oeuvre de telles relations dans un monument conçu à l'origine comme un mastaba ou pyramide à degrés aurait pu poser quelques problèmes, à moins que les constructeurs aient été en mesure de procéder à une modification majeure de la conception initiale. Il a été établi par G.A. Wainwright, toutefois, que la base de la "vraie" pyramide (à faces lisses) finale a été construite à environ 2,5 mètres au-dessus de la base du noyau interne "à degrés", et ce, sur du gravier au lieu du sol rocheux. [17]  Ce qui nous amène à penser que le niveau de la base a pu être relevé afin de parvenir à ces relations harmonieuses entre la position du passage d'entrée et les proportions de la pyramide elle-même.

Il reste à examiner maintenant quelle a été l'origine du profil 14:11 de la Pyramide de Meïdoum - en supposant que le calcul de ce rapport en fonction du seked des gradins soit erroné. Des théoriciens de la Grande Pyramide ont toujours soutenu qu'un tel profil a été associé à "la quadrature du cercle", de façon que le cercle de rayon égal à la  hauteur de la pyramide ait même périmètre que la base carrée.   Maintenant, bien que ce point de vue ne puisse être prouvé, il ne  semble pas déraisonnable dans le contexte du culte solaire, qui faisait son apparition lorsque la Pyramide de Meïdoum a été construite.  L'auteur tient à souligner que le transfert du temple d'offrandes sur le côté Est de la pyramide, la mise en place d'un site d'offrandes en plein air, et l'absence d'une fausse-porte ou serdab, indiquent tous une importance plus grande accordée au culte solaire par rapport à celui  qui était rendu au roi défunt. Le cercle est le symbole le plus familier du disque solaire, et comme le carré de base de la pyramide a été aligné vers les quatre coins de la Terre - points cardinaux - ou les "quatre supports du ciel", la relation simple d'égalité de périmètre qui lie le cercle et le carré, intrinsèquement associés à la forme extérieure de l'édifice,  pourrait avoir symbolisé une fusion de l'énergie solaire et des forces terrestres.[18] 

Les mathématiciens pourraient peut-être objecter que le rapprochement entre le nombre π et une de ses valeurs approchées rationnelles 22/7, qui est implicite dans le rapport 14:11, n'est pas censé avoir été connu à l'époque de la IVe dynastie. Mais cependant, si les constructeurs ont tenté de mesurer la circonférence d'un cercle d'un diamètre d'une coudée, soit  7 palmes ou 28 doigts, ils auront inévitablement constaté que  celle-ci correspondait à approximativement 22 palmes ; [19]  de sorte qu'une quadrature de cercle délibérée, associée à la  hauteur de la Grande Pyramide de 280 coudées, et la  demi-base de 220 coudées, n'est ni sujette à litige, ni particulièrement difficile à comprendre.

Une note sur les mesures de la Pyramide de Meïdoum
Étant donné que les dimensions de la Pyramide de Meïdoum ont été examinées par P. Testa dans un article de DE [20], avec des conclusions différentes des miennes,[21]  il semble opportun d'expliquer ici d'où ces différences proviennent. 

Tout d'abord, il convient de souligner que Testa ne cite jamais de mesures effectives sur lesquelles il fonde ses conclusions, mais il donne seulement des dimensions théoriques en coudées, qui s'accordent à ses propres interprétations.  Celles-ci sont basées pour lui sur une variation - qu'il imagine - de près de trois centimètres de la longueur de la coudée utilisée dans différentes parties de la pyramide. Dans mes travaux personnels sur les monuments de la Quatrième Dynastie, en contrepartie, les variations détectées dans la longueur de la coudée ont été de moins d'un millimètre, et j'ai toujours utilisé une valeur constante de référence pour convertir un ensemble quelconque de mesures de longueur en coudées.

Selon Testa, les côtés du carré de base de la Pyramide de Meïdoum mesurent 280 coudées, ce qui est la longueur approximative  proposée par Lauer. Mais, comme Maragioglio et Rinaldi l'expliquent, cette dimension est "la longueur des fondations qui font saillie sur une courte distance au-delà de la base du revêtement",[22] et par conséquent elle ne correspond pas du tout à la base réelle de la pyramide.  Si l'on suit les mesures de Petrie, [23] les côtés de la base mesurent effectivement 275 coudées, pour une longueur de la coudée qui est de 0,7 millimètre de plus que la coudée de Gizeh de 0,52375 mètres.

Comme Testa a pris 175 coudées pour la hauteur de la Pyramide de Meïdoum, ce qui est en fait la hauteur originale établie dans l'arpentage de Petrie, il affirme que la pente de la face est de 175 vertical pour 140 horizontal, soit 5 vertical pour 4 horizontal.  L'angle théorique correspondant à ce profil n'est pas, cependant, 51° 34' 01", comme Testa l'a déclaré, mais 51.34019°,  c'est à dire 51° 20' 25", soit un demi-degré inférieur à la pente indiquée par toutes les mesures effectives de l'angle du revêtement avec l'horizontale.


NOTES

1. W.M.F. Petrie, Medum (Londres, 1892), 6.
2. J-Ph. Lauer, Le mystère des pyramides, (Paris, 1974), 307-8.
3 G. Robins et C.C.D. Shute, Discussions in Egyptology 16 (1990), 75-80.
4. H. Vyse et J.S. Perring, Appendix to Operations carried on at the Pyramids of Gizeh (London, 1842), Pl. A p. 42.
5. J.-Ph. Lauer, La pyramide à degrés, Vol.I (Le Caire, 1936), 26.
6. Robins et Shute, op. cit., 77.
7. Par exemple, voir L. Borchardt, Das Grabdenkmal des Konig Sahu-re, Vol.I (Leipzig, 1910), Pl. 7.
8. Petrie, op.cit., 6.
9. Lauer, Le mystère des pyramides, 305.
10. Petrie, op.cit., 12.
11. Petrie donne des hauteurs de 410 et 411 inches.
12. Petrie, op.cit., 6.
13. J.A.R. Legon, Göttinger Miszellen 116 (1990), 65-72, fig. 2.
14. A. Rowe, Museum Journal (Univ. of Pennsylvania), Vol. XXII no.1 (March, 1931), 24, Pl. X.
15. Rowe, ibid. 23, Pl. X.
16.  D'après les mesures de Rowe, ibid. 24.
17. W.M.F. Petrie, G.A. Wainwright et E. Mackay, The Labyrinth, Gerzeh and Mazghuneh (Londres, 1912), 24-25; Pl. XIV.
18. Voir W. Hönig, Discusions in Egyptology 10 (1988), 28, 31.
19. Cette valeur approchée de π doit être distinguée de celle qui est utilisée implicitement dans la méthode égyptienne de calcul de l'aire d'un disque, traité comme un problème complètement différent.
20. P. Testa, DE 18 (1990), 55-69.
21. Legon, op.cit. (n.1).
22. Maragioglio et Rinaldi, op.cit., 16.
23. Voir Legon, op.cit. (n.1), 19-20.