La géométrie de la Pyramide Rhomboïdale

par
John A. R. Legon

D'après son article dans Göttinger Miszellen 116 (1990), 65-72
Traduction de John Legon et Stéphane Fargeot

Les résultats de l'enquête récemment publiée par Josef Dorner [1] ont fourni de nouveaux matériaux pour évaluer le plan et le profil de la Pyramide Rhomboïdale de Dahchour, tout en mettant en évidence des écarts par rapport aux résultats des enquêtes de Petrie en 1887,[2] et de Mustapha en 1952,[3] que l'on peut attribuer à quelques inexactitudes dans ce dernier arpentage. L'analyse des données présentée ici indique que le profil à deux pentes de la Pyramide Rhomboïdale - qui est généralement considéré comme présentant un changement de tracé - a été en fait conçu dès le départ, en harmonie avec les concepts de dessin et de géométrie qui sont en train d'émerger comme fondamentaux dans l'architecture des pyramides de la quatrième dynastie. Des irrégularités dans la forme de la Pyramide Rhomboïdale, attribuées par Dorner à des tassements dans la maçonnerie du noyau, vont refléter les complexités rencontrées par les constructeurs dans l'accomplissement d'un projet d'une ambition exceptionnelle.

Comme nous l'avons montré dans des articles précédents,[4] les constructeurs des pyramides de la quatrième dynastie ont choisi les dimensions avec le plus grand soin, et ils ont appliqué des méthodes géométriques pour établir des relations entre les différents éléments de leurs projets. Le style géométrique austère qui caractérise cette dynastie est né pendant le règne de Snefrou, en liaison avec une réduction dramatique du contenu architectural des monuments, tout d'abord à Meïdoum et ensuite à la Pyramide Rhomboïdale et à la Pyramide nord de Dahchour. Un grand changement a eu lieu dans la conception de la pyramide, pour des raisons qui restent encore difficiles à comprendre.

Les deux pentes de la Pyramide Rhomboïdale
Il est généralement admis que ce double profil unique a été introduit au cours de la construction lorsque les constructeurs, remarquant un tassement dans la maçonnerie, ont décidé de réduire le volume futur de la pyramide en diminuant la pente du revêtement extérieur de la partie supérieure. Comme Maragioglio et Rinaldi l'ont montré, [5] cette théorie est étayée par une évidence liée au processus de construction, car des fissures sont apparues dans le revêtement extérieur, dans les passages d'entrée et dans les deux chambres. Pourtant, malgré ces signes de faiblesse structurelle, il n'y a aucune raison de penser qu'un quelconque tassement ait eu lieu avant que le profil de la pyramide ait été modifié. La pyramide s'élevait alors à près de 47 m du sol, soit à moins de la moitié de sa hauteur eventuelle, à un moment où la capacité de charge des couches sous-jacentes de marne aurait dû être suffisante. [6] Si des fissures avaient alors commencé à apparaître, l'effet lié à un peu plus qu'un doublement de la hauteur de la pyramide aurait probablement été beaucoup plus grave, avec notamment des effets destructeurs sur les chambres funéraires.

En outre, comme cela a été suggéré pour la première fois dans une étude réalisée par A. Varille, [7] la possibilité que le double profil de la Pyramide Rhomboïdale ait été envisagée dès le début est fortement impliquée dans le plan de la partie intérieure, par la prévision de deux systèmes indépendants de passages et de chambres. Comme cela a été mis en évidence par Stadelmann, [8] cet arrangement doit avoir été planifié dès le début, et il donne l'impression que l'architecte a tenté de créer "deux pyramides en une". Varille fait référence aux éléments dédoublés dans le système des passages : les deux herses dans la passage de l'ouest, et les deux "portes-piège" dans le puits qui s'élève de la chambre inférieure. Mais il est aussi très frappant de constater que les deux passages d'entrée ont été construits en deux parties avec chacune un angle d'inclinaison différent. Le passage de l'ouest commence donc avec un angle de 26° 36' avec l'horizontale, mais il se transforme en un angle de 30° 9' à la sortie de la face oblique de la pyramide, à une hauteur de plus de 30 m du sol (voir fig. 2). Ce changement d'angle apparemment inutile anticipe en fait clairement la double pente de la Pyramide Rhomboïdale elle-même, et démontre avec certitude l'intention de l'architecte de poursuivre en permanence un concept axé sur la dualité.

Les dimensions du plan
D'après les résultats de leurs mesures de la Pyramide Rhomboïdale, qui en général concordent, Petrie et Dorner ont conclu tous deux que la hauteur de cette pyramide, marquée par le changement de pente, correspond à une partie inférieure de 90 coudées, et une partie supérieure de 110 coudées, ce qui donne une hauteur totale d'environ 200 coudées. Ces chiffres ronds montrent clairement que l'architecte a en effet choisi les pentes des parties inférieure et supérieure pour atteindre ce résultat remarquable. Bien que Petrie suppose que le chiffre de 360 coudées exactement ait été prévu pour le côté du carré de base de la Pyramide Rhomboïdale, Dorner quant à lui, a adopté la dimension plus précise de 362 coudées, ce que l'on peut vérifier avec les résultats des deux arpentages lorsque les mesures sont exprimées en coudées royales de 20,620 pouces [9] ou 0,52375 mètres :

longueur du côté en mètres longueur du côté en coudées royales
Petrie Dorner Petrie Dorner
Nord 189.57 189.41 361.95 361.64
Est 189.32 189.75 361.47 362.29
Sud - 189.71 - 362.21
Ouest 189.49 189.57 361.79 361.95

Selon l'enquête de Dorner, par conséquent, la moyenne de la longueur du côté correspond à 189,61 mètres, ou 362,02 coudées royales.

Dorner affirme que cette base de 362 coudées de long montre qu'il n'y a "pas de planification raisonnable", et il développe la théorie de Maragioglio et Rinaldi qui affirme que cette dimension dérive de l'agrandissement d'une précédente phase de construction, aménagée à partir d'une base de 300 coudées exactement. Il est, bien sûr, tout à fait possible que la Pyramide Rhomboïdale ait été formée autour d'un noyau qui reste à préciser, mais l'existence d'un tel noyau, si elle pouvait être prouvée, ne constituerait pas en soi la preuve d'un changement de plan. Comme nous allons le montrer à présent, la base de 362 coudées peut être attribuée à une simple mise en œuvre géométrique, qui suit une méthode établie dans d'autres pyramides de la Quatrième Dynastie.

FIG 1

Fig. 1. Plan de la Pyramide Rhomboïdale et de son mur d'enceinte.
Dimensions en coudées royales.

On verra dans la fig.1 que la Pyramide Rhomboïdale est entourée par un mur d'enceinte, qui enclôt un espace ouvert que Petrie a estimé mesurer environ 100 coudées de large sur chaque côté. Sur le côté sud, une pyramide satellite a été construite avec une base carrée de 100 coudées exactes (pour Petrie: 52,44 m = 100,1 coudées), implantée précisément sur l'axe de symétrie global nord-sud du mur d'enceinte; mais la distance qui apparaît entre cette petite pyramide et la Pyramide Rhomboïdale a une valeur minimale de 99 coudées - selon la mesure de Petrie de 51,92 m ou 99,13 coudées. Or, un espacement de 99 coudées, assemblé avec le demi-côté de la Pyramide Rhomboïdale, donnera une dimension de (99 + 181) soit 280 coudées, ce qui est un point de départ plausible pour une dimension du plan, liée à la division de la coudée en 28 doigts. Est-ce que la division en parties de 99 et 181 coudées est alors une erreur de mesure, ou cela reflète-t-il un but précis, qui expliquerait que la base de la pyramide mesure 2 × 181 ou 362 coudées?

Peu de temps après la construction de la Pyramide Rhomboïdale, la dimension de 280 coudées a été utilisée pour la hauteur de la Grande Pyramide, hauteur divisée en parties de 82 et 198 (soit 2 × 99) coudées au niveau de la "Chambre du Roi". Cette division pourrait avoir été obtenue par un tracé sur la hauteur de la pyramide, assimilée à la diagonale d'un carré de côtés 280/√2 soit 197,989 ou 198 coudées environ. [10]


Schéma de la Grande Pyramide

Une construction très similaire peut être appliquée à l'enceinte de la Pyramide Rhomboïdale, établie sur quatre carrés de 280 coudées de côté (voir fig. 1). Si on rabat le demi-côté d'un de ces carrés sur la diagonale, on obtient les segments de 99 et 181 coudées, de sorte que le côté de base de la pyramide de 2 × 181 coudées apparaît comme une simple conséquence de la dimension de l'enceinte.

La signification de cette géométrie est maintenant mise en évidence grâce à une autre construction, qui donne exactement le profil à double pente de la Pyramide Rhomboïdale en liaison avec la division de la hauteur. Selon Petrie et Dorner, la pente du revêtement de la partie inférieure correspond à 10 vertical pour 7 horizontal, ou 10 palmes de hauteur pour une coudée d'écart à la verticale, mais seulement pour les parties situées près de la base. L'angle théorique correspondant est de 55° 0' 29":

Angle du revêtement de la partie inférieure de la Pyramide Rhomboïdale Petrie Dorner
Angle moyen avec l'horizontale de la partie inférieure Partie la plus élevée 54° 36' ---
Partie la plus basse 55° 01' 55° 05'

Comme les résultats de Petrie l'indiquent, il y a une convexité marquée dans la partie inférieure, que Dorner exclut de ses mesures, et également de son analyse des dimensions. Dorner soutient que la partie inférieure de la Pyramide Rhomboïdale a été construite avec une pente uniforme de 10/7 à partir de la base. La diminution observée de l'angle dans les zones les plus hautes de la partie inférieure de la pyramide est pour lui dûe à un tassement de la maçonnerie. Selon l'auteur, cependant, ce phénomène n'a pas pu se produire, car on aurait alors pu observer une réduction des dimensions de la section horizontale de la pyramide, au niveau du changement de pente, qui marque le début de la partie supérieure. De plus, en maçonnerie massive utilisant de gros blocs, un tassement du bâti causerait un déplacement vertical vers le bas, et pas vers le centre de la construction. A l'heure actuelle, cette section horizontale peut seulement être évaluée à partir de la pente moyenne globale du revêtement inférieur, qui, à partir de données de Petrie, est de 54° 48'. Maintenant, comme Lauer l'a noté, [11] un angle de pente de 54° 44' 8" correspond à un profil de √2 vertical pour 1 horizontal, et donne des arêtes inclinées à 45°, soit juste 1 vertical pour 1 horizontal - dans le plan de la section verticale de la pyramide qui passe par la diagonale du carré de base. Le profil de la face peut être obtenu en élevant une hauteur égale à la diagonale du carré de base verticalement à partir d'un sommet du carré. L'hypoténuse du demi-triangle directeur de la pyramide - l'apothème - a alors pour pente √2 : 1 et l'arête a pour pente √2 : √2 ou 1 : 1.

Ce profil pourrait avoir été construit en combinant la pente initiale de 10 vertical pour 7 horizontal, avec celle de 7 vertical pour 5 horizontal, soit 54 ° 28 ':

Moyenne de 10 / 7 et 7 / 5 = 99/70 = 1,41428 ...

Racine carrée de deux = √2 = 1,41421 ...

Les résultats de Petrie suggèrent, cependant, que cet angle moyen du revêtement a été réalisé par un aplanissement de la face oblique de la partie inférieure comportant des irrégularités notamment dans sa partie haute, plutôt que par la combinaison précise de deux angles, afin d'obtenir la section horizontale souhaitée au niveau du changement de pente. Comme le montre la figure 2, l'angle théorique peut être construit en même temps que la demi-base de 181 coudées, en liaison avec le côté d'un carré et sa diagonale, et en prenant une dimension initiale de 280 coudées pour construire la largeur de l'enceinte (2 × 280 coudées).

Fig.2 Demi-section verticale de la Pyramide Rhomboïdale :
La hauteur de la partie supérieure a même longueur que l'apothème de la partie inférieure.
La position de l'entrée ouest du passage est aussi indiquée.
Dimensions en coudées royales

Division de la hauteur
En ce qui concerne la hauteur de la Pyramide Rhomboïdale, les conclusions de Petrie et Dorner peuvent être résumées comme suit:

Hauteur en mètres Hauteur en coudées royales
Petrie Dorner Petrie Dorner
Partie inférieure 47.17 47.04 90.06 89.81
Partie supérieure 57.83 57.67 110.42 110.11
Total 105.00 104.71 200.48 199.92

Il apparaît donc que les constructeurs ont sélectionné les hauteurs en chiffres ronds de 90 et 110 coudées respectivement, pour les parties inférieure et supérieure de la Pyramide Rhomboïdale, ce qui donne une hauteur totale de juste 200 coudées. Nous devons, cependant, essayer de comprendre pourquoi cette division a été choisie, et si elle est en accord avec les préoccupations géométriques déjà décrites.

Une conséquence surprenante est que la hauteur verticale de la partie supérieure a même longueur que la partie oblique du profil de la partie inférieure. Ce segment oblique est proportionnel à l'hypoténuse d'un triangle rectangle de côtés de l'angle droit 1(horizontal), √2 (vertical). Son hypoténuse correspond alors à √3. Il peut être calculé à partir de la hauteur de 90 coudées de la partie inférieure:

90 ÷ √2 × √3 = 110,2 coudées

qui est alors, comme nous l'avons noté plus haut, la hauteur de la partie supérieure de la pyramide. La division exacte de la hauteur totale de 200 coudées en deux parties dans le rapport √2 : √3 donne les dimensions suivantes:

Hauteur inférieure = 89,898 coudées : Hauteur supérieure = 110,102 coudées

Cette division, qui correspond précisément aux mesures de Dorner, peut être réalisée géométriquement en traçant la bissectrice de l'angle que forme le profil oblique de la Pyramide Rhomboïdale avec la verticale, comme le montre la figure 2. On crée ainsi un triangle isocèle, dont un côté est égal au segment oblique inférieur, tandis que le côté égal fournit la hauteur de la partie supérieure. La pente de la partie supérieure de la pyramide peut maintenant être achevée, parce que la hauteur de la partie supérieure et la demi-base de cette même partie ont été précisément définies. Nous avons:

Demi-base de la partie supérieure: 181 - (89,898 ÷ √2) = 117,43 coudées

Pente de la partie supérieure: 110,10 vertical pour 117,43 horizontal = 43° 9'

Le côté de la demi-base de la partie supérieure est proche de 822 palmes ou 117,428 coudées, ce qui représente environ la longueur du côté le plus long du rectangle 1 : 2 correspondant au profil initial du passage d'entrée, soit 20 / 7 fois l'élément de (140 - 99) ou 41 coudées, comme le montre la figure 2.

Dorner n'inclut pas les dimensions de la partie supérieure de la pyramide dans son enquête, mais il a utilisé les données de Petrie; et il oublie le phénomène de convexité, ou diminution de l'angle, entre les parties basse et haute de la partie oblique supérieure. Ceci est illustré par les mesures d'angle de Petrie d'environ 43° 21' pour la partie basse de cette pente, et 43° 1' pour les parties les plus hautes, avec une moyenne évidente d'environ 43° 11'. Le plus petit angle correspond à un profil de 14 vertical pour 15 horizontal, soit 43° 1' 30 ", comme Petrie et Dorner l'ont indiqué; tandis que l'angle le plus important correspond aux deux-tiers de l'angle associé au profil de la partie inférieure, ou 2√2 vertical pour 3 horizontal, soit 43° 18' 50", comme Lauer l'a suggéré.[11] On voit alors que les arêtes de la partie supérieure sont inclinées selon une pente correspondant à exactement 2 vertical pour 3 horizontal.

Bien que l'architecte de la Pyramide Rhomboïdale ait pu mesurer le profil et les dimensions d'une figure géométrique sans utilisation consciente des nombres irrationnels √2 et √3, qui impliquerait une connaissance du théorème de Pythagore, il est frappant de constater que ces nombres apparaissent à nouveau à Gizeh, où les trois pyramides sont limitées par un rectangle de dimensions 1000√2 coudées sur 1000√3 coudées. [12] Sur la fig.3, ces dimensions sont élaborées à partir d'un rectangle de 1000 coudées sur 2000, qui est divisé du côté sud de la Deuxième Pyramide de Khéphren en parties de 899 et 1101 coudées, ou dans le rapport √2 : √3, exactement comme pour la hauteur de la Pyramide Rhomboïdale. Un tel lien étroit entre des plans mis au point dans un laps de temps de quelques décennies suggère que les mêmes individus ont pris en charge les travaux, ou alors ils ont eu accès à un ensemble de connaissances qui, selon toute probabilité, était réservé à ceux qui avaient bénéficié d'une initiation à ces incontestables "mystères" de leur métier.


Notes

1. J. Dorner, MDAIK 42 (1986), 43-58.
2. W.M.F. Petrie, A Season in Egypt, 1887 (Londres, 1888), 27-32.
3. H. Mustapha, ASAE LII (1954), 595-603.
4. J.A.R. Legon, GM 108 (1989) 57-64, et GM 110 (1989), 27-34.
5. V. Maragioglio et C. Rinaldi, L'Architettura delle Piramidi Menfite III (Rapallo, 1964), 98-100.
6. Voir I.E.S. Edwards, The Pyramids of Egypt (Londres, 1985), 79.
7. A. Varille, A propos des pyramides de Snefrou (Le Caire, 1947), 7.
8. R. Stadelmann, Die ägyptischen Pyramiden (Mayence, 1985), 94.
9. La coudée définie par Petrie dans The Pyramids and Temples of Gizeh, (Londres, 1883), 179, et aussi par l'auteur.
10. J.A.R. Legon, Discussions in Egyptology 12 (1988), 43, fig. 1.
11. J-Ph. Lauer, Le Mystère des pyramides (Paris, 1974), 306, 342.
12. J.A.R. Legon, Discussions in Egyptology 10 (1988), 33-40. Voir aussi Discussions in Egyptology 14 (1989), 54-60.